⚡ Électricité · Partie 4

Régime sinusoïdal forcé (Fresnel, complexes), résonance, filtres actifs à AOP, électronique de puissance (redresseurs commandés, hacheurs) et machines électriques (moteur DC, asynchrone)

📐 Fresnel & complexes 🔔 Résonance RLC 🎛️ Amplificateur opérationnel ⚡ Hacheur & redresseur 🔄 Moteur à courant continu 🌀 Moteur asynchrone

1. Régime sinusoïdal forcé – notation complexe et diagramme de Fresnel

En régime sinusoïdal, on utilise les nombres complexes pour simplifier les calculs d'impédances et de déphasages.

\[ \underline{U} = Z \cdot \underline{I} \quad \text{avec} \quad Z = R + jX \]

Impédances élémentaires :

Résistance : \( \underline{Z_R} = R \) (déphasage nul)
Inductance : \( \underline{Z_L} = jL\omega = L\omega \cdot e^{j\pi/2} \) (courant en retard sur tension)
Condensateur : \( \underline{Z_C} = \frac{1}{jC\omega} = \frac{1}{C\omega} \cdot e^{-j\pi/2} \) (courant en avance)

📐 Diagramme de Fresnel : représentation vectorielle des grandeurs sinusoïdales. La tension aux bornes d'un dipôle est la somme vectorielle des tensions partielles.

Exemple : circuit RLC série

\[ \underline{Z} = R + j\left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right) \quad;\quad \varphi = \arctan\left(\frac{L\omega - 1/(C\omega)}{R}\right) \]

2. Résonance dans les circuits RLC

La résonance se produit lorsque la partie imaginaire de l'impédance s'annule : \(L\omega = \frac{1}{C\omega}\).

\[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \quad ; \quad f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

Propriétés :

À la résonance, l'impédance est minimale (RLC série) → courant maximal.
Facteur de qualité : \( Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} \). Plus Q est grand, plus la résonance est aiguë.
Bande passante : \( \Delta f = \frac{f_0}{Q} \).

RLC série
Z = R à résonance
I = U/R

RLC parallèle
Z maximale à résonance
I total minimal

3. Amplificateur opérationnel – filtres actifs

L'AOP est un composant électronique à très fort gain. Idéal : \(Z_{entrée} \to \infty\), \(Z_{sortie} \to 0\), gain différentiel infini.

\[ V_s = A_0 (V_+ - V_-) \quad \text{avec } A_0 \gg 1 \]

Fonctionnement en régime linéaire : avec contre-réaction, on utilise le principe de la masse virtuelle (\(V_+ = V_-\)).

Montages fondamentaux :

Amplificateur inverseur : \( V_s = -\frac{R_2}{R_1} V_e \)
Amplificateur non-inverseur : \( V_s = \left(1+\frac{R_2}{R_1}\right) V_e \)
Suiveur : \( V_s = V_e \) (impédance d'entrée très élevée)
Filtre actif passe-bas du 1er ordre : fonction de transfert avec gain et fréquence de coupure ajustables.

🎛️ Les filtres actifs (AOP + R + C) présentent l'avantage de ne pas utiliser d'inductances (encombrantes) et d'avoir un gain réglable.

4. Électronique de puissance – redressement commandé et hacheurs

L'électronique de puissance permet de convertir et contrôler l'énergie électrique.

Redresseur commandé (thyristor)

Le thyristor est un interrupteur unidirectionnel commandable (amorçage par une impulsion sur la gâchette).

Redressement commandé monophasé : \( U_{moy} = \frac{U_{max}}{\pi} (1 + \cos\alpha) \) (charge résistive)

\(\alpha\) = angle de retard à l'amorçage. En faisant varier \(\alpha\), on contrôle la tension moyenne.

Hacheur (conversion DC-DC)

Un hacheur abaisseur (buck) ou élévateur (boost) régule une tension continue.

Hacheur série (buck) : \( U_{sortie} = \alpha \cdot U_{entrée} \) avec \(\alpha\) rapport cyclique (0 à 1).

Schéma simplifié : Interrupteur commandé + diode + bobine + condensateur → tension de sortie lissée.

5. Machines électriques – moteurs

Moteur à courant continu (MCC)

Transforme l'énergie électrique DC en énergie mécanique. Modèle : force électromotrice \(E = k\Phi\Omega\), couple \(T = k\Phi I\).

Équation électrique : \( U = E + RI \) ; \( E = k\Phi \Omega \) (vitesse de rotation)

Caractéristiques :

Vitesse proportionnelle à la tension d'induit.
Couple proportionnel au courant d'induit.
Excellent pour la variation de vitesse (hacheur, pont redresseur).

Moteur asynchrone triphasé (moteur à induction)

Le plus répandu dans l'industrie. Stator crée un champ tournant, rotor en cage d'écureuil.

Vitesse de synchronisme : \( n_s = \frac{60f}{p} \) (tr/min), \( p \) = nombre de paires de pôles.
Glissement : \( g = \frac{n_s - n}{n_s} \) (typ. 2 à 6% en charge)

Propriétés : robuste, économique, mais vitesse difficile à régler sans variateur électronique.

🔧 Variateur de vitesse : pour moteur asynchrone, on utilise un onduleur (redresseur + filtre + hacheur + onduleur) qui module la fréquence et la tension.

6. Tableau de synthèse – nouvelles grandeurs & composants

Élément / concept	Symbole / Formule	Unité	Caractéristique clé
Impédance complexe	\(\underline{Z} = R + jX\)	\(\Omega\)	Module \(\|Z\|\), argument \(\varphi\)
Résonance RLC série	\(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\)	rad/s	Courant maximal
Amplificateur opérationnel	\(V_s = A_0(V_+ - V_-)\)	V	Masse virtuelle en linéaire
Thyristor	Amorçage par gâchette	-	Redressement commandé
Hacheur Buck	\(U_{sortie} = \alpha U_{entrée}\)	V	Rendement élevé (85-95%)
Moteur CC	\(E = k\Phi\Omega\)	V	Vitesse ~ tension
Moteur asynchrone	\(n_s = 60f/p\)	tr/min	Glissement \(g\)

7. Exercices – Application des notions avancées

📐 Exercice 1 – Impédances complexes
Un circuit RLC série : R=50 Ω, L=0,2 H, C=50 μF, fréquence f=50 Hz. Calculer l'impédance complexe, son module et le déphasage.

\(\omega = 2\pi\times50 = 314,16\,\text{rad/s}\).
\(Z = R + j(L\omega - 1/(C\omega)) = 50 + j(62,83 - 63,66) \approx 50 - j0,83\,\Omega\).
\(|Z| \approx 50,007\,\Omega\), \(\varphi \approx -0,95^\circ\) (quasiment résistif). C'est proche de la résonance.

🔔 Exercice 2 – Facteur de qualité
Circuit RLC série avec L=10 mH, C=100 nF, R=20 Ω. Calculer \(f_0\), Q et la bande passante.

\(f_0 = 1/(2\pi\sqrt{10\times10^{-3}\times100\times10^{-9}}) = 1/(2\pi\sqrt{1\times10^{-9}}) \approx 1/(2\pi\times 3,162\times10^{-5}) \approx 5033\,\text{Hz}\).
\(Q = \frac{1}{R}\sqrt{L/C} = \frac{1}{20}\sqrt{10^{-2}/10^{-7}} = \frac{1}{20}\sqrt{10^{5}} = \frac{316,2}{20} \approx 15,8\).
\(\Delta f = f_0/Q \approx 5033/15,8 \approx 318\,\text{Hz}\).

🎛️ Exercice 3 – Amplificateur inverseur à AOP
R1=1kΩ, R2=47kΩ, tension d'entrée 50 mV. Calculer la tension de sortie.

\(V_s = -\frac{R_2}{R_1} V_e = -\frac{47}{1} \times 0,05 = -2,35\,\text{V}\). Le signe moins indique une inversion de phase.

⚡ Exercice 4 – Hacheur Buck
Un hacheur abaisseur alimenté sous 48 V délivre une tension moyenne de 18 V. Quel est le rapport cyclique ? Si le courant moyen est 5 A, calculer la puissance d'entrée (rendement supposé 90%).

\(\alpha = U_{sortie}/U_{entrée} = 18/48 = 0,375\).
Puissance sortie = \(18\times5 = 90\,\text{W}\). Puissance entrée = \(90 / 0,9 = 100\,\text{W}\).

🔄 Exercice 5 – Moteur à courant continu
Un MCC a une résistance d'induit 0,5 Ω et une constante \(k\Phi = 0,8\,\text{V/(rad/s)}\). Sous 200 V, il tourne à 1500 tr/min. Calculer le courant d'induit et le couple.

\(\Omega = 1500\times\frac{2\pi}{60} = 157,08\,\text{rad/s}\).
\(E = k\Phi\Omega = 0,8\times157,08 = 125,66\,\text{V}\).
\(I = (U - E)/R = (200-125,66)/0,5 = 148,68\,\text{A}\).
Couple \(T = k\Phi I = 0,8\times148,68 \approx 118,9\,\text{N·m}\).

🌀 Exercice 6 – Moteur asynchrone
Moteur 4 pôles (p=2) alimenté sous 50 Hz. Vitesse de synchronisme ? Si le glissement à pleine charge est 4%, quelle est la vitesse ?

\(n_s = 60f/p = 60\times50/2 = 1500\,\text{tr/min}\).
\(n = n_s(1-g) = 1500\times(1-0,04) = 1440\,\text{tr/min}\).

🧠 Bilan de la partie 4 : Vous maîtrisez désormais les outils de l'électrotechnique avancée (complexes, résonance, AOP), l'électronique de puissance (hacheur, thyristor) et les machines électriques (MCC, asynchrone). Ces connaissances sont essentielles pour aborder l'automatique, les variateurs de vitesse, l'énergie renouvelable ou l'électromécanique.